Петя и Паша выписывают двенадцатизначное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Петя начинает. Сможет ли Паша добиться, чтобы полученное число делилось на 9?

Данное число, представляет собой
6 - абсолютно любых чисел.
И 6-ть чисел, которые захочет Паша.
Чтобы число делилось на 9, нужно чтобы сумма всех чисел, кратна 9.
Достаточно доказать для одного разряда, чтобы все число делилось на 9, т.к. с след. разрядами мы будем поступать точно так же.
Предположим, что Петя будет выбирать числа от 0 до 9, а Паша продолжает разряд, логично предположить, что какое число не взял Петя, можно придумать любое другое число, которое будет кратно 9.
0, 9
1, 8
2, 7
...
9,0
Но т.к. начинает Петя, то пред. последним числом может оказаться 9, а для того чтобы число было 12-и значное, то первым разрядом должен быть не ноль, то получается число не будет делиться на 9.
Получается, ответ: нет, не может.