Алгебра, опубликовано 2018-08-22 19:34:50 by Гость

Сократила ли дробь (7^53-2^37)/5

Ответ оставил Гость

Дробь сократима, если её числитель и знаменатель имеют хотя бы один общий делитель, отличный от единицы.

$/dfrac{7^{53}-2^{37}}{5}$ будет сократимой, если $7^{53}-2^{37}$ делится на $5$ . А для того чтобы число делилось на $5$ , нужно чтобы это число заканчивалось на $0$ или на $5$ .

Выписывая первые степени семёрки
$7^7=7 // 7^2=/dots 9 // 7^3= /dots 3 // 7^4=/dots 1 // 7^5=/dots 7 // 7^6=/dots 9 // 7^7=/dots 3 // 7^8=/dots 1 // 7^9=/dots 7$
, получаем закономерность:
$7^{2n}=/dots1 // 7^{2n+1}=/dots7 // 7^{2m}=/dots9 // 7^{2m+1}/dots3$
, где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

То же делаем и для степеней двойки:
$2^1=1 // 2^2=4 // 2^3=8 // 2^4=/dots6 // 2^5=/dots2 // 2^6=/dots4 // 2^7=/dots8 // 2^8=/dots6 // 2^9=/dots2$

$2^{2n}=/dots6 // 2^{2n+1}=/dots2 // 2^{2m}=/dots4 // 2^{2m+1}=/dots8$
, где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

Т.к. $53=2/cdot26+1$ , то $7^{53}= /dots7$ .
Т.к. $37=2/cdot18+1$ , то $2^{37}= /dots2$ .

Значит $7^{53}-2^{37}=/dots7-/dots2=/dots5$ . Отсюда следует, что $7^{53}-2^{37}$ делится на $5$ , и ,соответственно, дробь $/dfrac{7^{53}-2^{37}}{5}$ — сократима.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.