Алгебра, опубликовано 2018-08-22 19:36:36 by Гость

Lim(1/x)^tgx, x стремится к 0

Ответ оставил Гость

$/lim_{x /to 0}/ ( /frac{1}{x} )^{tgx}=/{ /infty^0/}$

Пусть

$y=( /frac{1}{x} )^{tgx}$

Прологарифмируем
$lny=ln( /frac{1}{x} )^{tgx} // // lny=tgx / ln /frac{1}{x} = tgx(ln1-lnx)=-tgx*lnx$

теперь найдем предел от ln(y)

$/lim_{x /to 0} lny= /lim_{x /to 0} (-tgx*lnx)= /lim_{x /to 0} (-/frac{lnx}{ /frac{1}{tgx} }) =-/lim_{x /to 0} (/frac{lnx}{ /frac{1}{tgx} }) = // =/{ /frac{/infty}{/infty} /}$

После того как перешли к неопределенности вида {∞/∞}
Можно воспользоваться правилом Лопиталя, то есть взять производную от числителя и отдельно взять производную от знаменателя до тех пор пока не уйдет неопределенность

$-/lim_{x /to 0} /frac{(lnx)}{ (/frac{1}{tgx}) }=-/lim_{x /to 0} /frac{ /frac{ 1 }{x} }{ /frac{- /frac{1}{cos^2x} }{tg^2x} }= -/lim_{x /to } /frac{ /frac{1}{x} }{- /frac{1}{sin^2x} } = // // = -/lim_{x /to 0} -/frac{sin^2x}{x} =/lim_{x /to 0} /frac{(sin^2x)}{x}=/lim_{x /to 0} /frac{2sinx*cosx}{1}=2sin0*cos0 // // =0*1=0 //$

Если lny=0, то y=e⁰=1
$/lim_{x /to 0} y= /lim_{x /to 0} ( /frac{1}{x} )^{tgx}=1 // // OTBET: / 1$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.