Алгебра, опубликовано 2018-08-22 20:14:23 by Гость

Исследование функции y=(x^2-1)/x

Ответ оставил Гость

1)
$D(f)=(-/infty,0)/cup(0,/infty)$
$E(f)=(-/infty,/infty)$
Функция нечетная, так как:
$f(-x)=-f(x)$
$/frac{x^2-1}{-x}=/frac{1-x^2}{x}$

График- Гипербола.

2)
Функция имеет 2 асимптоты, одна вертикальная другая наклонная.

Вертикальная:
$x=0$
Так как :
$/lim_{x /to 0^-} /frac{x^2-1}{x}= +/infty$
$/lim_{x /to 0^+} /frac{x^2-1}{x}= -/infty$

Наклонную найдем по 2 этапам:

1.
Найдем угловой коэффициент, с помощью предела:
$/lim_{x /to /pm /infty}/frac{f(x)}{x}=k$
$/lim_{x /to /pm /infty} /frac{x^2-1}{x^2} =/lim_{x /to /pm /infty} /frac{x^2}{x^2}= 1$

2.
$/lim_{x /to /pm /infty}(f(x)-kx)=b$
$/lim_{x /to /pm /infty}( /frac{x^2-1}{x} -x)=/lim_{x /to /pm /infty} - /frac{1}{x}=0$

Следовательно:
$y=x$ является наклонной асимптотой.

3)
Нули:
$/frac{x^2-1}{x}=0$
$x /neq 0$
$x=/pm 1$

4)
Промежутки знакопостоянства:
$/frac{x^2-1}{x} / /textgreater / 0$
$(-/infty,-1)=-$ - функция принимает отрицательные значения.
$(-1,0)=+$ - функция принимает положительные значения.
$(0,1)=-$ -функция принимает отрицательные значения.
$(1,/infty)=+$ -функция принимает положительные значения.

Т.е:
$x/in (-/infty,-1)/cup(0,1) /rightarrow f(x)/ /textless / 0$
$x/in (-1,0)/cup(1,+/infty)/rightarrow f(x)/ /textgreater / 0$

Функция является возрастающей. И не имеет экстремумов.

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.