Алгебра, опубликовано 2018-08-22 20:19:55 by Гость

Докажите, что для любых а≠b для функции f(x) = х^2 выполняется неравенство

Ответ оставил Гость

$a, b &/ (a/neq b)& / / / &f(x)=x^2//// / / / / / f( /frac{a+b}{2})/ /textless / f /frac{f(a)+f(b)}{2}$

Решение (доказательство):

$f( /frac{a+b}{2})= (/frac{a+b}{2})^2= /frac{(a+b)^2}{4} //// /frac{f(a)+f(b)}{2}= /frac{a^2+b^2}{2}$

что и требовалось доказать

Нужно доказать, что $/forall / a,b/ / (a/neq b)$

$/frac{(a+b)^2}{4}/ /textless / /frac{a^2+b^2}{2}$

Рассмотрим верное неравенство:

$(a-b)^2/ /textgreater / 0$ , если $a/neq b$

$a^2-2ab+b^2/ /textgreater / 0//// 2ab/ /textless / a^2+b^2$

Добавим к обеим частям сумму $a^2+b^2$

$a^2+2ab+b^2/ /textless / 2(a^2+b^2)//// (a+b)^2/ /textless / 2(a^2+b^2)/ / / |:4//// /frac{(a+b)^2}{4}/ /textless / /frac{a^2+b^2}{4}, / / / /forall / / a/neq b$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Алгебра.