На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится доска длиной L=192 см. С её концов во встречных направлениях одновременно толкают два одинаковых кубика с отличающимися в 3 раза начальными скоростями. Абсолютно неупругое соударение кубиков происходит в момент остановки одного из них. На каком расстоянии от левого конца доски прекратится скольжение по ней кубиков, если масса доски больше массы кубика в 6 раз? Ответ выразить в см, округлив до целых. Коэффициент трения кубиков о верхнюю поверхность доски всюду одинаков. Движение тел происходит в одной вертикальной плоскости. Размерами кубиков по сравнению с длиной доски пренебречь. Левый кубик имеет меньшую скорость. (хотя нет разницы, так?)

Силы на них до встречи действуют одинаковые (массы равны) причём одинаковое время. Значит, потери импульса до встречи у них одинаковые. Стало быть, у изначально медленного кубика импульс будет НОЛЬ перед встречей, а у изначально быстрого – 2mv, где v и m – скорость и масса медленного кубика. В течение этого времени – на доску с двух сторон действуют одинаковые и противоположные ответные силы трения со стороны кубиков. Стало быть, в этом процессе доска в движение не приходит.

При этом квадрат скорости медленного кубика изменяется на v², а квадрат скорости быстрого кубика меняется на 5v², значит, пройденные ими расстояния относятся как 1:5, расстояние, пройденное медленным кубиком, составляет 1/6 от длины доски, и именно в эту сторону полетят слипающиеся кубики. Вся дальнейшая история будет разыгрываться на 1/6 доски.

Далее, у нас будет связка из двух кубиков 2m с импульсом 2mv, унаследованным от быстрого кубика. Т.е., после столкновения сдвоенный кубик будет двигаться со скоростью v в направлении от точки соединения к точке отправления медленного.

Вся конструкция 8m : 2 кубика – 2m и доска – 6m имеют импульс 2mv. Значит, центр масс конструкции движется со скоростью v/4.

Когда объединённые кубики остановятся относительно доски, их скорость как раз и будет равна скорости центра масс, как и скорость доски (у них возникнет относительный покой).

Отрицательное ускорение трения будет создаваться удвоенной силой трения (двойной вес) в расчёте на двойную массу сдвоенного кубика. А значит, отрицательное ускорение трения – будет таким же, как и у изначальных кубиков.

Значит, теперь кубики должны будут изменить квадрат скорости на [15/16]v², это произойдёт, когда они пройдут 15/16 от 1/6 длины доски, ОТНОСИТЕЛЬНО стола. Поскольку при изменении квадрата скорости на v² – проходится расстояние в 1/6 длины доски.

Вывод к моменту начала совмещённого движение кубиков и доски, кубики окажутся на 1/16-ой 1/6 длины доски от начала движения медленного кубика относительно стола. Т.е. кубики окажутся на 1/96-ой части длины всей доски от начала движения медленного кубика относительно стола.

В это время ответная сила трения будет действовать со стороны кубиков на доску. Поскольку масса доски 6m в 3 раза больше, чем масса сдвоенных кубиков, то ускорение доски окажется в три раза меньше. Доске нужно увеличить квадрат скорости от лабораторного покоя до v²/16. Если бы ускорение было бы такое же, как и кубиков, то доска бы проехала по столу на 1/16 от 1/6 своей длины. Но поскольку ускорение доски втрое меньше, то она проедет в этом процессе втрое дальше, а именно на 3/16 от 1/6 своей длины. Таким образом, она сместится на 3/96 своей длины, как бы убегая в сторону – от кубиков. Кубики не доедут до точки старта медленного 1/96 доски. А доска уедет от точки старта медленного на 3/96. Значит, кубики окажутся на 4/96 = 1/24 части от края доски.

192 * 1/24 = 8 см.

Теперь через формулы. Самая полезная формула равноускоренного движения тут:

2aS = ∆v² ;

До соударения, модули ускорений одинаковы, а поэтому скорость медленного к соударению – будет ноль, а быстрого – 2v вместо 3v :

2a Sм = v² ;      [1]

2a Sб = 9v²–4v² = 5v² ;      [2]

Ясно, что путь быстрого больше пути медленного в 5 раз.

Тогда, обозначив длину доски, как L, получим: 

Sм = L/6 ;        [3]

Sб = [5/6] L ;

Конечный импульс 2mv распределится на всех участников движения:

2mv = 8mu, где u – скорость движения центра масс.

u = v/4.

К моменту начала совмещённого движения (т.е. относительного покоя кубиков и доски) скорость кубиков должна стать v/4, так как импульс сохранится. Тоже касается и доски, тогда обозначая Sд и aд – путь и ускорение доски, а так же и Sк и aк – путь и ускорение сдвоенных кубиков, мы можем написать:

2 aд Sд = u² ;

2 aк Sк = v² – u² ;

2 aд Sд = v²/16 ;

2 aк Sк = [15/16]v² ;

aк = а, поскольку сдвоенные кубики с двойным весом испытывают вдвое большее трение.

aд = a/3, по Третьему Закону Ньютона, поскольку масса доски втрое больше массы сдвоенных кубиков.

2a Sд = 3v²/16 ;      [4]

2a Sк = [15/16]v² ;      [5]

Делим [4] на [1] и получаем:

Sд/Sм = 3/16 , через [3] :

Sд = [3/16] Sм = L/32 ;

Делим [5] на [1] и получаем:

Sк/Sм = 15/16 , через [3] :

Sк = [15/16] Sм = [5/32] L ;

Перед началом движения доски от соединённых кубиков до края L/6 и кубики летят к краю, а край от них уходит.

В итоге до края доски останется:

L/6 + L/32 – [5/32] L = ( 16/96 + 3/96 – 15/96 ) L = [4/96] L = L/24 = 192/24 = 8 см.