Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Якою найбільшою може бути площа трикутника?

Площадь прямоугольного треугольника максимальна при одинаковой величине гипотенузы, когда острые углы равны по 45 градусов.
Катеты равны по 10*(√2/2) = 5√2.
Максимальная площадь равна Sмакс = (1/2)*(5√2)² = 50/2 = 25 кв.ед.

Это доказывается так:
Пусть катеты равны х и у.
По Пифагору 10² = х² + у².
Отсюда у = √(100-х²).
Функция площади S = (1/2)x*√(100-х²).
Найдём производную и приравняем нулю.
S = (50-x²)/√(100-x²) = 0.
Для дроби достаточно приравнять нулю числитель (если знаменатель не равен 0).
50-х² = 0.
х = √50 = 5√2,
у при этом равен √(100-(5√2)²) = √(100-50) = √50 = 5√2.

То есть при равенстве катетов, при этом острые углы треугольника равны по 45 градусов.