В четырёхугольнике ABCD проведены биссектриса угла А и биссектриса угла В. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В — сторону AD в точке N. Известно, что MCDN — параллелограмм. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Так как MCDN - параллелограмм, то MC║ND, значит АD║BC.
 
В четырёхугольнике ABMN AN║BM, он как минимум трапеция, значит биссектриса его угла отсекает от противоположной стороны отрезок, равный боковой стороне, а так как биссектрисы являются диагоналями, то все его стороны равны, следовательно ABMN - ромб. В нём АВ║MN, значит АВ║СД.
AB║CD, BC║AD ⇒ ABCD - параллелограмм.
Доказано.