В треугольнике АВС вписана окружность с центром О; А1, В1, С1 – точки касания окружности к сторонам ВС, АС, АВ соответственно. Докажите, что АС1+СА1=АВ1+А1В

Касательные к окружности, проведённые из одной точки вне окружности, равны. Значит АВ1=АС1, ВС1=ВА1, СА1=СВ1.
Исходя из этого легко увидеть, что доказать это тождество не возможно (возможно только в частном случае: правильный или равнобедренный треугольник).
В левой части равенства расположены касательные, принадлежащие вершинам А и С, а в правой, принадлежащие А и В.
Если АС1=АВ1, то СА1≠А1В.
Доказано, что равенство неверно.