Найти угол между меньшей стороной и диагональю прямоугольника,если он на 70 градусов меньше угла между диагоналями который лежит против большей стороны

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей


Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:

I способ

1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven





2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).



Тогда

/[/angle OCD = /frac{{{{180}^o} - /angle AOD}}{2} = /frac{{{{180}^o} - ({{180}^o} - /varphi )}}{2} = /]

/[ = /frac{{{{180}^o} - {{180}^o} + /varphi }}{2} = /frac{/varphi }{2}./]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

/[/angle ACD = /angle OCD = /frac{/varphi }{2}./]

Ответ: φ/2.

II способ

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika



Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika



1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

Ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.