В педагогическом институте Аркадьева, Бабанова, Корсакова,Дашков, Ильин и Флеров преподают экономическую географию, английский язык, немецкий язык, историю, французский язык и математику. Известно, что : -Преподаватель немецкого языка и преподаватель математики в студенческие годы занимались художественной гимнастикой -Ильин старше Флерова, но стаж работы у него меньше, чем у преподавателя экономической географии -Будучи студентками, Аркадьева и Бабанова учились вместе в одном университете. Все остальные окончили педагогический институт -Флеров - сын преподавателя французского языка, но студентом он не был -Преподаватель французского языка - самый старший из всех по возрасту и стажу работы. Он работает в педагогическом институте в тех пор, как окончил его. Преподаватели математики и истории - его бывшие студенты -Аркадьева старше преподавателя немецкого языка Кто какой предмет преподаёт?

Т.к. условие у автора написано с ошибкой, напишу правильное условие и решение.

В педагогическом институте Аркадьева, Бабанова, Корсакова, Дашков, Ильин и Флеров преподают экономическую географию, английский язык, французский язык, немецкий язык, историю, математику.
Преподаватель немецкого языка и преподаватель математики в студенческие годы занимались художественной гимнастикой.
Ильин старше Флерова, но стаж работы у него меньше, чем у преподавателя экономической географии.
Будучи студентками, Аркадьева и Бабанова учились вместе в одном университете. все остальные окончили педагогический институт.
Флеров - отец преподавателя французского языка.
Преподаватель английского языка - самый старший из всех по возрасту и по стажу работы. Он работает в этом институте с тех пор, как окончил его. Преподаватели математики и истории - его бывшие студенты.
Аркадьева старше преподавателя немецкого языка.

Решение: Сначала извлечем все, что можно, из каждого условия в отдельности. Как известно, художественная гимнастика - монополия женщин. Поэтому преподаватели немецкого языка и математики - явно не мужчины. Далее можно сказать, что Ильин - не преподаватель экономической географии. Флеров - не преподаватель французского языка, Аркадьева - не преподаватель немецкого. Подготовительный этап закончен.

Теперь приступим к сопоставлениям. Самый старший и по возрасту и по стажу - преподаватель английского. У Ильина - не самый большой стаж, а Флеров - не самый старший. Значит, преподаватель английского - не Ильин и не Флеров. Ни преподаватель математики, ни преподаватель английского, ни преподаватель истории, окончившие институт, не могут быть ни Аркадьевой, ни Бабановой, которые окончили университет. Таким образом, преподавателем математики может быть только Корсакова, а преподаватель английского - Дашков.

Исследуем, что нам дает анализ следующих двух фактов: "Ильин старше Флерова" и "Флеров - отец преподавателя французского". Ильин мог бы быть преподавателем либо французского, либо истории. Первая из этих возможностей отпадает, так как она приводит к бессмыслице: сын старше отца. Следовательно Ильин - историк . Экономическую географию преподает Флеров, французский - Аркадьева. Бабанова, как следует из ситуации, может быть только преподавателем немецкого языка. 

Ответ:
Аркадьева - французскийБабанова - немецкийКорсакова - математикаДашиков - английскийИльин - историяФлеров - география