Что такое синтаксическая роль

Сейчас попробую :). Синтаксическая роль - функция слова в предложении, во взаимосвязи с другими словами. ОДна и та же форма слова (в зависимости от этого) может выполнять различные функции (т. е. быть разными членами предложения) . 
Например. Этот человек - с умом. "С умом" - сказуемое (т. е. , о человеке говорится, что он умный) . Другой случай: "человек с умом не пропадет". "С умом" - выступает как часть выражения "человек с умом", это почти фразеологизм, в данном случае "с умом" - определение. 
Следующий случай: "С умом задумано, а без ума сделано" - "с умом" - характеристика действия, это обстоятельство образа действия при сказуемом, синоним "умно". 
Еще вариант "Сердце с умом не в ладу" (перифраза грибоедовского "ум с сердцем не в ладу") - "с умом" - дополнение, сопоставляемое с субъектом - "сердце".