1. В аттракционе "Мертвая петля" небольшие кабины соединены друг с другом в сцепку длины L. Сцепка съезжает с горки, далее движется по горизонтальной поверхности и затем попадает в вертикальную петлю радиуса R. Какую наименьшую высоту должна иметь горка, чтобы сцепка могла благополучно проехать по этой петле? Считать, что длина сцепки L>2πR. Трением пренебречь. 2. Чему равен наибольший КПД теплового двигателя, работающего по циклическому процессу, который в осях (P,V) имеет вид прямоугольника, стороны которого параллельны осям P и V. Рабочее тело одноатомный газ.

1. Пусть вся сцепка уже полностью заняла мёртвую петлю, поскольку потенциальная энергия не меняется, то все кабинки движутся с одной и той же скоростью по одному и тому же радиусу, а значит, имеют одинаковое центростремительное ускорение. Кабинки, находящиеся ниже центра петли вообще никак не могут упасть, поскольку опираются на рельсы, а вот кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли упасть в принципе могут. Найдём условие безотрывного движения отдельных кабинок. Рассмотрим только кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли, отстоящие от него на угол        Поперечная к петле сила, действующая на кабинку, складывается из силы нормальной реакции и тяжести:









Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле        т.е. в самой верхней точке, то отрыв не произойдёт ни в одной точке.

А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва:

Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как:

   где        – масса всей сцепки.

Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна        а значит, потенциальная энергия возрастёт по сравнению с горизонтальным участком на:



В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна:



Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет:





С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке:











А значит:





ОТВЕТ:    



2. Обозначим минимальный объём как:    

а максимальное давление, как:    

а их изменения, как:        и    

Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт:



Работа, вырабатываемая в цикле:



КПД цикла:



Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть: