Физика, опубликовано 2018-08-22 23:28:45 by Гость

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и N вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние k вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Ответ оставил Гость

Обозначим:

$L$ – длина одного вагона или локомотива,

$v_o$ – скорость передней точки локомотива, когда он проезжает мимо,

$v_1$ – скорость поезда, когда локомотив только что проехал наблюдателя,

$v_k$ – скорость поезда, когда только k вагонов ещё не проехали мимо,

$v$ – скорость поезда, когда весь поезд проехал наблюдателя,

Будем измерять время от состояния $v_o / .$

Пусть через время $/tau$ наступило состояние $v_1 / .$

Пусть состояния $v_o$ и $v$ – отделаят промежуток времени $t / .$

Состояния $v_k$ и $v$ – очевидно отделаят промежуток времени $/tau .$

Через средние скрости, ясно, что:

$/frac{ v_o + v_1 }{2} /tau = L / ;$ [1]

$/frac{ v_k + v }{2} /tau = kL / ;$ [2]

$/frac{ v_o + v }{2} t = (N+1)L / ;$ [3]

Кроме того:

$v - v_k = a /tau = v_1 - v_o / ;$

$v + v_o = v_1 + v_k / ;$ [4]

Складывая [1] и [2], получаем:

$(k+1)L = /frac{ v_o + v_1 }{2} /tau + /frac{ v_k + v }{2} /tau = /frac{ v_o + v_1 + v_k + v }{2} /tau / ;$

Учитывая [4], получаем:

$(k+1)L = ( v_o + v ) /tau / ;$

$(N+1)L = /frac{ v_o + v }{2} t / ;$

Разделим последние уравнения:

$/frac{N+1}{k+1} = /frac{t}{ 2 /tau } / ;$

$t = /frac{N+1}{k+1} /cdot 2 /tau / ;$ [5] – это всё время движения поезда мимо наблюдателя:

За это время скорость дорастает от значения $v_o$ до значения $v / ,$ изменяясь на величину $( v - v_o ) / .$

При том же ускорении за первый интервал $/tau$ скорость возрастёт только на величину:

$v_1 - v_o = /frac{ /tau }{ t } ( v - v_o ) / ;$

$v_1 = v_o + /frac{ /tau }{ t } ( v - v_o ) / ;$

Средняя скорость за время проезда локомотива:

$v_{cp} = /frac{ v_o + v_1 }{2} = v_o + /frac{ /tau }{ 2t } ( v - v_o ) / ;$

$L = v_{cp} /tau = ( v_o + /frac{ /tau }{ 2t } ( v - v_o ) ) /tau / ;$ [6]

Средняя скорость за время проезда всего поезда:

$V_{cp} = /frac{ v_o + v }{2} / ;$

$(N+1)L = V_{cp} t = /frac{ v_o + v }{2} t / ;$ [7]

Перемножим [6] и [7] крест-накрест:

$/frac{ v_o + v }{2} t = (N+1) ( v_o + /frac{ /tau }{ 2t } ( v - v_o ) ) /tau / ;$

$( v_o + v ) /frac{t}{ /tau } = (N+1) ( 2 v_o + /frac{ /tau }{t} ( v - v_o ) ) / ;$

С учётом [5] имеем:

$( v_o + v ) /frac{2}{k+1} = 2 v_o + /frac{k+1}{2(N+1)} ( v - v_o ) / ;$

$/frac{2}{k+1} v - /frac{k+1}{2(N+1)} v = 2 v_o - /frac{k+1}{2(N+1)} v_o - /frac{2}{k+1} v_o / ;$

$( /frac{2}{k+1} - /frac{k+1}{2(N+1)} ) v = ( /frac{2k}{k+1} - /frac{k+1}{2(N+1)} ) v_o / ;$

$( /frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) v = ( /frac{4(N+1)k}{(k+1)^2} - 1 ) v_o / ;$

$( /frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) v = ( /frac{4(N+1)k}{(k+1)^2} - k + k -1 ) v_o / ;$

$( /frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) v = ( ( /frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 ) k + k -1 ) v_o / ;$

ОТВЕТ:

$/frac{v}{v_o} = k + /frac{ k - 1 }{ /frac{4(N+1)}{(k+1)^2} - 1 } / ;$

Например, при $N = 11$ и $k = 5 / ,$ получаем:

$/frac{v}{v_o} = 5 + /frac{ 5 - 1 }{ /frac{4(11+1)}{(5+1)^2} - 1 } = 17 / ;$

при $N = 14$ и $k = 5 / ,$ получаем:

$/frac{v}{v_o} = 5 + /frac{ 5 - 1 }{ /frac{4(14+1)}{(5+1)^2} - 1 } = 11 / ;$

при $N = 20$ и $k = 6 / ,$ получаем:

$/frac{v}{v_o} = 6 + /frac{ 6 - 1 }{ /frac{4(20+1)}{(6+1)^2} - 1 } = 13 / .$

Не нашли ответа?

Если вы не нашли ответа на свой вопрос, или сомневаетесь в его правильности, то можете воспользоваться формой ниже и уточнить решение. Или воспользуйтесь формой поиска и найдите похожие ответы по предмету Физика.