Отрезки ВО и СО - биссектрисы углов В и С треугольника АВС. Отрезок ОЕ параллелен стороне АВ, а отрезок ОК параллелен стороне АС. Точки Е и К лежат на стороне ВС. Доказать что периметр треугольника ЕКО равен длине отрезка ВС.

Рассмотрим треугольник ВОЕ. Углы ОВЕ и ВОЕ равны как внутренние накрест углы лежащие при параллельных (АВ||ОЕ по условию). Следовательно треугольник ВОЕ равнобедренный. Отсюда ВЕ=ОЕ.
Если мы рассмотрим треугольник СОК. Он также равнобедренный (см. доказательство выше). Следовательно ОК=СК. Т.о.  периметр треугольника ОЕК равне ВС.