В треугольнике ABC проведена медиана BM. Докажите что, треугольник ABC прямоугольный, если BM=1//2*AC

Если Вы уже знаете вписанные углы, все совсем просто: Проводим окружность с центром в точке M и радиусом R=BM=AM=CM; она пройдет через вершины A, B и С. Поэтому угол ABC вписанный  и опирается на диаметр⇒ он прямой, так как равен половине развернутого AMC.

Если же Вы это не знаете, удлините медиану BM в два раза, получится точка D такая, что ABCD - параллелограмм с равными диагоналями⇒ это прямоугольник⇒∠ABC - прямой