Через точку М, принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке О, провели прямую, перпендику­ лярную этой биссектрисе. Эта прямая пересекает сто­ роны данного угла в точках А и Б. Докажите, что АМ = МВ.

OM - биссектриса, значит угол AOM = углу MOB.
Угол AMO = углу OMB = 90 (OM перпендикулярен AB)
OM - общая сторона треугольников AOM и OMB
Треугольники AMO и OMB равны по двум углам и линии между ними (2-ой признак равенства треугольников)
Отсюда AM = MB, что и требовалось доказать