В кубе ABCDA1B1C1D1. M-середина А1В1, N-середина В1С1, Р-середина DC. Найдите Тангенс угла между MN и АР

Прямая MN параллельна прямой A1C1. Значит, искомый угол равен углу PA1C1.
Его можно найти из треугольника A1C1P.
A1C1 = sqrt(A1D1^2+D1C1^2) = sqrt(2)
C1P = sqrt(PC^2+CC1^2) = sqrt(1+1/4) = sqrt(5)/2
A1P = sqrt(A1D^2+DP^2) = sqrt(2+1/4) = 3/2

По теореме косинусов:
C1P^2 = A1C1^2 + A1P^2 - 2*A1C1*A1P*cos(PA1C1)
5/4 = 2 + 9/4 - 2*sqrt(2)*(3/2)*cos(PA1C1)

откуда cos(PA1C1) = sqrt(2)/2

Значит, угол PA1C1 равен pi/4, а его тангенс равен 1.