В ромбе АВСД

∠B - ∠A = 60°
∠B + ∠A = 180°  ⇒  ∠A = 60° (можно вычесть из второго равенства первое и разделить на 2)
AB = AD и ∠А = 60°  ⇒ΔABD равносторонний, ⇒BT - биссектриса и медиана и высота. Аналогично, BF/
BT = BF (медианы равных треугольников)
∠TBD = ∠FBD = 30°⇒∠TBF = 60°  ⇒ΔTBF - равносторонний.
Высота равностороннего треугольника равна a√3/2, где а - его сторона.
Тогда BF√3/2 = 4  ⇒BF = 8/√3
Для ΔBCD:   BF = BC√3/2 = 8/√3 ⇒  BC = 16/3.
Площадь ромба: a² * sin 60° = (16/3)² * (√3/2)= 256/9 * √3/2 = 128√3/9