В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре находятся в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна a, а высота равна h.

Жаль, плохо владею возможностью компьютера, рисунок вам не могу переслать.
РКМNZ  данная пирамида, АВСДА₁В₁С₁Д₁ вписанный в неё куб. О центр основания пирамиды, О₁ -- центр верхнего основания куба.
ΔРО₁А₁ подобен ΔРОМ.
(х ребро куба, О₁Р=h-x, O₁A₁=x√2, OM=a√2)
PO₁/PO=O₁A₁/OM
2(h-x)/x√2=2h/a√2
x=ah/(a+h)