Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO. Докажите, что наклонные KA, KB и KC равны. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если AC=BC=a.

В прямоугольном треугольнике CO = AO = BO = AB/2 

проводим перпендикуляр OK из точки O 
имеем 3 прямоугольных треугольника AOK BOK COK 
доказываем равенство этих треугольников по 2м сторонам и углу между ними 

AO = OB = OC 
угол AOK = угол BOK = угол COK = 90 
OK - общая сторона 

т.к. треугольники равны значит соответствующие стороны тоже равны 

длины проекции этих наклонных это AO BO CO 
находим по теореме Пифагора