Доказать: Если две хорды окружности равныто расстояние от центра окружности до этих хорд также равны.

Проведем радиусы от центра окружности к конечным точкам хорд. получившиеся треугольники будут равнобедренными, потому что все радиусы, естественно, друг другу равны, и равными по третьему признаку (два радиуса и хорды, равные по условию). 
Теперь проведем высоты из вершины углов, противоположных хордам (основаниям). Высоты будут перпендикулярами, проведенными из центра окружности к ближайшим точкам хорд (перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от точки до прямой), но они также будут являться соответственными элементами равных треугольников, а соответственные элементы равных треугольников равны. Следовательно, расстояния от центра окружности до хорд равны, что и требовалось доказать.
(прошу прощения, рисунок сделать не могу)