Высота АА1 треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки длиной 8 и 9. Найти длину высоты АА1, если известно, что другая высота делит её пополам.

Пусть мы имеем треугольник АВС, высоты АА1 и СС1. Точка их пересечения Д.
Обозначим половины искомой высоты за х.
Рассмотрим 2 равных взаимно перпендикулярных угла А1АИ и ДСА1.
Тангенсы их равны:
9/2х = х/8.
2х² = 8*9.
х² = 4*9.
х = 2*3 = 6.
АА1 = 2х = 2*6 = 12.