В треугольнике ABC биссектриса угла A пересевает сторону BC в точке D. Перпендикуляр к биссектрисе, проведённый через точку M- середину отрезка AD, пересекает прямую BC в точке N. Докажите, что прямая AN является касательной к описанной вокруг этого треугольника окружности

MN - высота и медиана треугольника AND. Значит он равнобедренный и ∠DAN=∠ADN.
∠CAN=∠DAN-∠DAC.
∠ABN=∠ADN-∠BAD по свойству внешних углов треугольника.
Но ∠BAD=∠DAC, поэтому ∠CAN=∠ABN, значит по свойству углов между касательной и хордой проведенной в точку касания AN - касательная.