Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и N вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние k вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Обозначим:

   – длина одного вагона или локомотива,

   – скорость передней точки локомотива, когда он проезжает мимо,

   – скорость поезда, когда локомотив только что проехал наблюдателя,

   – скорость поезда, когда только k вагонов ещё не проехали мимо,

   – скорость поезда, когда весь поезд проехал наблюдателя,

Будем измерять время от состояния    

Пусть через время        наступило состояние    

Пусть состояния        и        – отделаят промежуток времени    

Состояния        и        – очевидно отделаят промежуток времени    

Через средние скрости, ясно, что:

     [1]

     [2]

     [3]

Кроме того:



     [4]

Складывая [1] и [2], получаем:



Учитывая [4], получаем:





Разделим последние уравнения:



   [5] – это всё время движения поезда мимо наблюдателя:

За это время скорость дорастает от значения        до значения        изменяясь на величину    

При том же ускорении за первый интервал        скорость возрастёт только на величину:





Средняя скорость за время проезда локомотива:



     [6]

Средняя скорость за время проезда всего поезда:



     [7]

Перемножим [6] и [7] крест-накрест:





С учётом [5] имеем:















ОТВЕТ:





Например, при        и        получаем:





при        и        получаем:






при        и        получаем: